R^nの標準基底を、R^nの任意の基底に写像する行列の全体はもちろん群をなす
それがGL_n(R)

で、R^nから任意のn個の元を持ってきたら基底になる？
ならないだろ

線形空間の基底とは、線形独立な線形空間の生成元のこと
だからn個の元が線形独立であることが必要

ちなみにR^nの線形独立なn個の元は基底になる
つまり、n個の元の線形結合によってR^nの任意の元を生成できる