では、再び面積分。
面素
滑らかな曲面 S 上の点座標 x = (x, y, z) が独立な変数 u, v の関数として
x = S(u, v) := (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) によって表されるとき、
dσ＝｜dx｜＝｜dS｜：＝｜(∂S/∂u)×(∂S/∂v)｜dude
を曲面 S = S(u, v) の u, v に関する面積要素あるいは面素と呼ぶ。
ここで、
｜(∂S/∂u)×(∂S/∂v)｜^2
｜(∂y/∂u) (∂y/∂v) ｜^2 ｜(∂z/∂u) (∂z/∂v) ｜^2 ｜(∂x/∂u) (∂x/∂v) ｜
＝｜ ｜ ＋｜ ｜ ＋ ｜ ｜
｜(∂z/∂u) (∂z/∂v) ｜ ｜(∂x/∂u) (∂x/∂v) ｜ ｜(∂y/∂u) (∂y/∂v)｜
＝EGーF^2
は、S の線素 ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 から定まる第一基本量