いまいちよく分からないんだけど、
一価性だの二価性だの φ → φ+2π だかの前に、そもそも球座標においてはφの変域は[0,2pi)なんだから、
φ=0での連続性の問題になるんじゃないの？
つまりmを整数にとったら連続になって、半整数にとったら連続じゃなくなる。
（φの変域内では連続だけど空間の関数と見ると位相に不連続な飛びがある）
よってその微分にはデルタ関数が現れるからシュレーディンガー方程式を満たさなくなって不適

という議論じゃ駄目なの？