rot項(transeverse field)が平面波展開した際に波数ベクトルと「垂直性」
を示すのは、基本、クーロンゲージの時だけなんですよね。

相対論的共変性が明確なのは、ローレンツゲージ、即ち、div A=0という条件
があるときのときのみですよね。ですので、純粋な数学の定理とも言いきれ
ません。

どんなベクトル場も、rot + grad に分解できる、というのは数学という
感じですが、垂直性まで入れると純粋数学という感じではなくなります。