量子力学の質問

モードは離散的かつ有限個って、教科書には1次元の特別な場合のみ示して、
それをいきなり一般化して、いつでも一緒と言うような理屈になっているような気がする

本当に任意の有限領域内でのモードは離散的かつ有限個なんだろうか？
それについての解説等があればお願いします。

数学的表現は以下のようになるんじゃないかとおもう

座標をxとして、有限領域Rの内外においてポテンシャルVが以下の条件を満たす。
V≦0　＠ x∈R
V=0　＠ x∉R
この時、シュレディンガー方程式
(-h̅²/(2m) ∆+V)Φ=EΦ
の解は min(V)＜E＜0 には有限個しか存在しない。