>>8
その式は厳密には「ローレンツ不変」ではないが、ある慣性系Sで、Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz
の全てに対してその式と同様の式が成り立っていた場合、別の慣性系S'でも、同様の式
の組が成り立つ事は証明できる。


以下、慣性系Sで表現した量を、x^μ、F^{uv}、慣性系S'で表現した量を、x'^μ、F'^{uv}
などと書くことにする。

また、2つの座標表現の間にローレンツ変換：
　x'^μ = Λ^μ_ν x^ν ・・・・・(1)
が成り立っているとする。

電磁場テンソルF_{uv}について、もし、座標系Sで、

□ F^{uv} = 0　　・・・・・(2)

が成り立っていたと仮定する。□は、

□≡{ Σ_j (-∂^2/∂x_j^2) } +(1/c^2)(∂^2/∂t^2)　　　・・・・・・・・・(3)
　= ∂_μ ∂^μ　・・・・・・・・・・・・・・(4)

の事である。これは、最初に言っていた事で、>>8 をEx,Ey,Ez,Bx,By,Bzの全てに対して
成り立つようにしたものに他ならない。そして、実際の物理では本当に成り立つ。

F^{uv}を、慣性系S'で表現した量 F'^{uv}とすると、

F'^{uv} = Λ^μ_ρ Λ^ν_λ F^{ρλ}　　　・・・・(5)

の関係がある。上式の両辺にダランベルシャン□を演算すると、

□ F'^{uv} = Λ^μ_ρ Λ^ν_λ □ F^{ρλ}　　　・・・・(6)

となる。ところが、(2)より F^{ρλ} = 0 なので、

(4)⇔ □ F'^{uv} = 0　　　　　　　・・・・(7)

となる。

故に、(2)が成り立っていれば、(7) が成り立つことが証明された。