http://imgur.com/tPkbUy2.jpg

↑は砂川重信著『力学の考え方』です。

「2次以上の微少量を無視すると」

とあります。

δq(t) は微少量ですが、 d/dt δq(t) は微少量にならない場合もあるかと思います。

この説明には問題があるのではないでしょうか?