>>103
高校生でもなんとか理解できそうな惑星の軌道。離心率ベクトル不使用。
er↑ = (cosθ, sinθ) , eθ↑ = (-sinθ, cosθ)
dr/dt = v, dθ/dt = w などとおく。
r↑=r(cosθ, sinθ)とすると、
dr↑/dt = (dr/dt)er↑ + (rω)eθ↑
T = 1/2 m(dr↑/dt)^2 = 1/2m( v^2 + (rw)^2) (∵ |er↑| = |eθ↑| = 1, er↑⊥eθ↑）
U = -GMm/r

力学的エネルギー保存の法則より
T+U = Const. = E　より
1/2m(v^2 + (rw)^2) - GMn/r = E …(1)
角運動量の保存より（ホントはベクトルだけど・・・）
mr^2w = Const. = L …(2)
式(2)より w = L/mr^2 これを式(1)に代入して
1/2mv^2 + L^2/2mr^2 - GMn/r = E …(3)

u = 1/r とおくと（目標は式(3)からrとθだけの関係式を作ること。時間はいらない）
w = dθ/dt = L/mr^2
du/dθ = -1/r^2 dr/dθ = -1/r^2 ((dr/dt)/(dθ/dt)) = -1/r^2 (v/w)
　= -1/r^2・mr^2/L・v = -m/L v
よって
v = -L/m (du/dθ)
式(3)にこれらを代入すると
1/2 (-m/L)^2 (du/dθ)^2 + (L^2/m^2)u^2 - GMmu = E

整理して
(du/dθ)^2 + u^2 - (2GMm^2)u = 2mE/L^2
(du/dθ)^2 + (u-GMm^2/L^2)^2 = 2mE/L^2 + (GMm^2/L^2)^2
　= (GMm^2/L^2)^2(1+(2mEL^2) / (GMm^2)^2)
　= ((GMm^2/L^2)( √(1+(2EL^2)/(G^2M^2m^3)))^2)
　= ((GMm^2/L^2)ε)^2 （但し、ε = √(1+(2EL^2)/(G^2M^2m^3)))^2）

これはいわゆる単振動の式だから適当に初期条件を設定して
u - GMm^2/L^2 = (GMm/L^2)εcosθ
r = 1/u
　= (L^2/GMm^2)(1/(1+εcosθ))

よってこれは2次曲線になる。
εの値によって、楕円になったり放物線になったり双曲線になったり直線になったり色々。
楕円になる保証はない。
ギリギリ高校範囲…だと思いたい。

多分どこかで入力ミスしてそうだけど、最後の r とεはあってると思う。
ところで、なんで u = 1/r でこんなにきれいに解けるんだろう。