ポテンシャルエネルギーが
https://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP14161c6f31g3f2fdfee700004fba5if1hgeh88g8?MSPStoreType=image/gif&;s=51
(α>0)
で与えられる質点において、円軌道と、円軌道から少しずれた軌道の近日点移動を求めよ、ただしεは微小量とする。
という問題なのですが、私は極座標(r,θ)で考えてラグランジアンを
http://latex.codecogs.com/gif.latex?L%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20m%20%28%5Cdot%7Br%7D%20&;plus;%20r%5E2%20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%29-U%28r%29
としました。これをθについてのラグランジュ方程式
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%20d%20%7Bdt%7D%20%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20L%7D%7Bd%20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7Bd%20%5Ctheta%7D%3D0
に代入すると、
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%20%3D%5Cfrac%7Bl%7D%7Bmr%5E2%7D
(l=const)
角運動量保存則が得られます。
これをエネルギー保存の式
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7DE%20%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%28%7B%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%28%5Cdot%7Br%7D%5E2%20&;plus;r%5E2%20%5Cdot%5Ctheta%20%5E2%29+U%28r%29%29%3D0
に代入して、微分を計算すると
http://latex.codecogs.com/gif.latex?m%5Cddot%7Br%7D-%5Cfrac%7Bl%7D%7Bm%7Dr%5E%7B-3%7D&;plus;%5Calpha%20r%5E%7B-2%7D%20+%203%20%5Cepsilon%20r%5E%7B-4%7D%3D0
というθを削/除したrだけの式が得られましたが、ここからどうすればいいのかわかりません。
大学2回生です。不明な点があれば返信いたします。お願いします。