もし無限数列
(x1, x2, …, xk, xk+1, xk+2, …)が
有理数数列であった場合には、
数え上げ可能な無限数列を含む
開区間(a, b)の径|b – a|は
xk / xk+1 の比率に連動した
1 / {1 – (xk / xk+1)} =
xk+1 / (xk+1 – xk) の
大きさに制約されます。
つまり|xk+1 – xk| に対して
“いくらでも小さく取る事が”
出来なくなります。
つまり有理数の場合、
無限個の数を含ませようとすると、
その区間は
無限小の区間にする事ができず、
有限の幅の有る区間に
ならざるを得ません。
コーシー列の定義が
|xk+1 – xk| に対して
開区間(a, b)の径|b – a| を
“いくらでも
小さく取る事が出来る。”
としている事自体が、
コーシー列なる概念に
既に連続実数の概念を
忍び込ませている事になります。
無限小の区間に
無限個の数を含ませる事が
出来るとする
連続実数の概念自体が
数え上げ可能な手続きによって
説明できないのですから
連続実数の存在は証明出来ません。