(*1A)より
(1-2m/r)=(cl)^2-(dr/ds)^2-(h/r)^2(1-2m/r)･･･(*5)
rをψの関数として微分したものは
(d/dψ)(r(ψ))=r'=(dr/ds)(ds/dψ),(*3)より
(dr/ds)=r'(dψ/ds)=hr'/r^2,r=1/u,r'=-u'/u^2,(*5)より
(1-2mu)=(cl)^2-(hu')^2-(hu)^2(1-2mu)
u'^2=((cl)^2-1)/h^2+2mu/h^2-u^2+2mu^3･･･(*6)
ψで微分して
2u'u''=2mu'/h^2-2uu'+6mu^2u'･･･(*7)
u'=0,u=1/r(定数)という解は円軌道
u''+u=m/h^2+3mu^2･･･(*8)
この式はu''+u=m/h^2が万有引力の式に対応しイメージしてみると
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)
の形であるから、ここでh=r^2dψ/ds,m=kM/c^2,u=1/r,であって
相対論補正項3mu^2を検証すると、m/h^2でくくり
u''+u=(m/h^2)(1+3mu^2/(m/h^2)=(m/h^2)(1+S)の形にして、Sを調べます
3mu^2/(m/h^2)=3u^2h^2=3(1/r^2)(r^2dψ/ds)^2=3r^2((dt/ds)(dψ/dt))^2=3r^2(dψ/dt)^2(1/c^2)
=3(rdψ/dt)^2(1/c^2)
(rdψ/dt)は円の接線方向の速度だからそれを軌道速度Vとみれば3(V/c)^2と解けて
相対論補正項S=3(V/c)^2だから
ユークリッド幾何で
シュワルツシルト時空の重力による加速度RelativeGravityの式は
r半径,G万有引力定数,M質量,V軌道速度,c光速度,S相対論補正項
Rg=-(GM/r^2)(1+S)=-(GM/r^2)(1+3(V/c)^2)
と解ける