物理の質問ではないのですが、数学板が完全崩壊しているので。
よく数学で位相構造入れるときに
距離を三角不等式といくつかの公理さえ満たしていれば何でもいいと抽象化しますが
実際にはd=√x_ix^iみたいな例しか教科書に載っていません

どこかに病的な例はないのでしょうか

数理物理やる上での単純な好奇心です