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説明しよう！
まず位置rの座標変換について考える
座標系Sでのi番目の基底をe^i、S'でのi番目の基底をe'^iとおく
S系からS'系への基底変換がe'^i=A[i,j]e^jと表されるとする
Aの逆行列をBとおくと、e^i=B[i,j]e'^j…①
また、位置rのS系での座標がc[i]と表されるとすると、rの位置をS系で表すと
r=c[i]*e^iとなる
ここで、位置は座標系によらず不変である…①
よってS'系での位置rもまた
r=c[i]*e^iとなる
基底を変換すると
r=c[i]*(B[i,j]e'^j)
=(c[i]B[i,j])*e'^j
位置rのS'系での座標がc'[i]と表されるとすると、
=c'[j]*e'_j
よって、S系からS'系への座標変換は
c'[j]=c[i]B[i,j]=c[i](A^(-1))[i,j]となる
また、基底変換はe'^i=A[i,j]e^jなので、座標変換行列と基底変換行列は互いに対して逆行列となる
こういった性質を反変性という
この反変性を持つ量をベクトル、反変ベクトルと物理学では呼ぶ
ベクトルの反変性は①で挙げた「位置は座標系によらない」という性質が理由である
つまりこの性質を満たす量なら位置以外でもベクトルとなる
例えば速度、加速度、運動量、力などは座標系によらないのでベクトルとなる

これとは反対に、座標変換と基底変換で行列が同じになる場合がある
そういった性質を共変性と呼び、共変性を持つ量を擬ベクトル、または共編ベクトルと呼ぶ
例えばスカラー場fの勾配∇f
∇f=(∂f/∂x^i)*e^i
=(∂f/∂x'^j)(∂x'^j/∂x^i)*e^i
=(∂f/∂x'^j)*((∂x'^j/∂x^i)e^i)
=(∂f/∂x'^j)*e'^j
となり、変換行列は同じになる