別に古い本だからっておかしいわけじゃなくて、
古い本から引用することを訝っただけ。

物理でのベクトルやテンソルの定義は、
ベクトルやテンソルで表される物理量としての
ベクトル量やテンソル量の定義だから、
数学的にベクトル、テンソルだという以上に座標変換での変換性に条件がついている。