順序体Kは必ず有理数体を部分体として含むから、a∈Kに対して、X(a) = {x∈K | x ≤ a}∩Qとおく。
X(a)が非空でRにおいて有界なら、上限が存在するから、sup(X(a))をその値とする。
X(a)が非有界なら、sup(X(a)) = ∞とする。X(a)が空なら、sup(X(a)) = -∞とする。
sup(X(a))とεの大小をaとεの大小と定義すればいい。