振り子の振動の微分方程式についてです。
教科書では、糸の固定点の真下の点 $O$ を原点とし、 $O$ から円弧に沿って測った距離 $x$ についての運動方程式を求めています。
一般化すると、ある曲線上の定点 $O$ からその曲線に沿って測った質点の距離 $x$ について $\frac{d^2x}{dt^2} = F$ のような微分方程式をたてることに非常に違和感を持ちます。

$x$ は質点のある定点から測った位置ベクトルを表してはいないからです。