>>172

＞ 中心(0,0,…)半径Rのn次元超球面で切り取った超表面積をS[φ]とすれば，
＞ Ω_n=∫[全てのφ] {S[φ] / (Z/cosφ)^(n-1)} ｄφ という式に帰着できる．

n次元超球面ということは (n+1) 次元超球の表面という意味ですか？
S[φ] の意味が良く分かりません。
あと n 変数の積分 dx_1 … dx_n を 1 変数の積分 dφ にしているのが良く分かりません。
以上、教えて下さい。

一応、私のとった方法を：
Ω_3=∬_D {Z/(√[(x-X)^2+y^2+z^2+Z^2])^4)} dx dy dz
　= 2πZ ∫_[r=0〜R] dr ∫_[θ=0〜π] r^2 sinθ(r^2 - 2Xr cosθ + X^2 + Z^2)^{-2}
　= 2πZ ∫_[r=0〜R] dr [ -(r/2X) (r^2 - 2Xr cosθ + X^2 + Z^2)^{-1} ]_[θ=0〜π]
　= 2πZ ∫_[r=0〜R] dr (r/2X) { (r^2 + 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} - (r^2 - 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} }
　= π (Z/X) ∫_[r=0〜R] dr r { (r^2 + 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} - (r^2 - 2Xr + X^2 + Z^2)^{-1} }
以下略、で、

Ω_3= (π/2) (Z/X) { log [(R-X)^2 + Z^2] - log [(R+X)^2 + Z^2] }
　+ π { atan [(R-X)/Z] + atan [(R+X)/Z] }

でした。

n = 5 は同様に部分積分で出来そうでした。
n = 4 だと r^{-(n+1)/2} でルートが出てきてしまいやっかいでした。