>>20

(略証)
N=1 または n=1 のときは 1 となり、等号が成立。

N>1 のとき
べき級数gを
　g(x) = Σ[k=0,∞) 1/[(N-1)k +1] x^k,
とおくと、問題の式は、g(x)^N および 1/(1-x) の x^n の係数である。
そこで、G(x) = (1-x)^(-1/N) のマクローリン展開を
　Σ[k=0,∞) ζ_k･x^k,
とおく。逐次微分により、
　ζ_0 = 1,
　ζ_1 = 1/N,
　ζ_k / ζ_(k-1) = [N･(k-1)+1]/(Nk) > [(N-1)(k-1)+1]/[(N-1)k+1],　(k>1)
∴　[(N-1)k +1]ζ_k > [(N-1)(k-1)+1]ζ_(k-1) > ･････ > Nζ_1 = ζ_0 = 1,
∴　1/[(N-1)k +1] <ζ_k,
∴　(左辺) = Σ[････] 1/{[(N-1)k_1 +1][(N-1)k_2 +1]･････[(N-1)k_N +1]}
　　< Σ[････] ζ_(k_1)･ζ_(k_2)･････ζ_(k_N) = 1,　(終)
ぬるぽ