俺も64π/3になったけど、違うのか
断面の図形の外郭の媒介変数表示が(1+2(1-cosθ)cosθ, 2(1-cosθ)sinθ)ってなるから、体積の差し引きをひっくるめて
∫[π,0]π(2(1-cosθ)sinθ)^2*2sinθ(2cosθ-1)dθ
で求まると思ったけど