5集点は不可避集合である。
Ｎ−１点までのグラフは４配色可能であると仮定する。
Ｎ点の任意のグラフにある５集点に着目する。
５集点の中央の頂点P0とその辺を仮に削除する。
このＮ−１点のグラフは仮定より４配色が可能である。
P0の周りの頂点をP1〜P5とする。
P1〜P5の頂点は４色で塗られている。
５つ頂点の内同じ色のものを色Ｂとする。
色Ｂと色Ｂに囲まれた一個の頂点をP1とする。
P1の色をＡとしP2，P5を色Ｂにする。
残った色ＣをP3，色ＤをP4とする。
仮にP1〜P5が３色で塗られていれば、P0を戻してＮ点で４配色可能となる。
上記P1〜P5が４色でＣをＡに変えられない、ＤをＡに変えられないとする。
ケンペ鎖ではＡＣチェーン、ＡＤチェーンが繋がっているとする。
ＡとＣをコントラクトしてＮ−２点のグラフを得る。
このとき頂点Ａは頂点Ｃと結合するのでＡ，Ｃ以外の色で、頂点ＡはＢに
辺で接しているので、Ｂ以外の色、頂点ＣはＤに接しているのでＤ以外の色
を要求される。５色目のＥが必要となる。
同様にＡとＤをコントラクトしてＮ−２点のグラフを得た場合
５色目のＥが必要になる。
Ｎ−１点以下のグラフは４配色可能なのでＮ−２点でも４配色可能となる。
しかし仮定に反し５色目が必要になった。
これはＮ−１点以下のグラフが４配色可能と言うことに矛盾する。
従ってＡＣチェーンまたはＡＤチェーンが切れているグラフが１つは存在
しなければならない。
よってP1〜P5を３色で配色することができる。
よってＮ−１点のグラフが４配色可能であればＮ点のグラフも４配色可能である。
よって帰納法が成立し、平面状のグラフは４配色可能である。