私も、可換環上の加群のホモロジー代数を勉強しないで、いきなり、圏論のホモロジー代数などを勉強するのはやめておいたほうたいいと思います。
昔から "General nonsense" とか "Abstract nonsense" といって、極度に抽象化された理論ばかり勉強していると、何も生み出さないで終わってしまうことがしばしばあることを警告しています。
もちろん、成功する抽象理論もありますが、そういう理論を作った人は、古典的な個別的具体論にも精通している人です。
圏論というのは加群の理論を勉強した後で勉強すると、「なるほど、そういう一般化の方法があるのか」と納得できるのですが、加群の理論を知らないで圏論を勉強しても、暗中模索が続くだけです。
加群のホモロジー代数 and/or 多様体のホモロジー --> 層係数コホモロジー --> その他雑多なホモロジー, の順に勉強するほうがリスクが少ないと思います。