訂正の意味も含め、再度書き直させて頂きます。

つかぬことをお尋ねしたいんですが、実数直線R上で非可算集合も含め解析的手法で一般に証明出来る命題の1つPで、
本来Pは、Rの非可算「部分」集合上で成り立ち、かつ可算「部分」集合K⊂R上では成り立たないにもかかわらず、
その解析的手法によるPの証明が正しいと認めると、
同様な解析的手法でPがK⊂R上でも成り立つことが証明出来てしまう場合、
このPの証明は正しいとしてよろしいのでしょうか？
命題PがK⊂R上では偽になるという事実は、たまたま生じたことに過ぎないんでしょうか？