単なる思いつきだけど話の種にでも

自然数全体からなる集合をNとする。NからNへの、この問題の操作を表す関数をfとおく。
すなわち、nが奇数ならf(n)=3n+1、nが偶数ならf(n)=n/2と定める。

Nの部分集合Aで、f(A)⊂Aを満たすものを「コラッツ不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、Aのどの要素nに対してもf(n)∈Aが成り立つような集合Aのことである。
特にf(A)=Aを満たすものを「コラッツ強不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、コラッツ不変であり、かつ「どのn∈Aに対してもあるm∈Aが存在してf(m)=n」を満たす集合Aのことである。

例
N自身はコラッツ強不変集合
｛1,2,4｝はコラッツ強不変集合
｛1,2,4,8,…,2^k｝(k≧3)はコラッツ不変だがコラッツ強不変でない
より一般に、(1,2,4以外の)ある自然数から始めて1になるまでに現れる全ての自然数の集合はコラッツ不変だが、コラッツ強不変でない
例えば｛13,40,20,10,5,16,8,4,2,1｝

「コラッツ予想が正しい」⇔「全てのコラッツ不変集合が｛1,2,4｝を含む」が成り立つ…と思う。