>>1
お〜い、何とか高校の範囲？で示せたぞ〜い。

ae^2+be+c=0を満たすa、b、c∈Z-{0}が存在することを仮定したとき、
両辺をe^2+(c/a)=-(b/a)eと変形してC=c/a、d=b/aとおけば、
e^2+de+C=0であって、e^2+C=(-d)eとなる。
1)eが重根であるとき。このときは>>34、>>37の如き幾何考察で済む。
2)eが重根でなくかつC>0のとき。このとき、2次関数y=x^2+Cのグラフは下に凸だから
直線y=(-d)xと2点で交わり、(e、0)ではない方の交点のx座標はC/e。
ここに、eは方程式x^2+dx+C=0の根であることに注意して
2つの多項式x^2+dx+C、x-eに因数定理を適用すればx^2+dx+C=(x-e)(x-C/e)が分かる。
よって、y軸対称な2次関数y=x^2+Cのグラフは(±e、0)、(±C/e、0)の計4点を通る。
故に、(C/e)^2+d(C/e)+C=0、(-C/e)^2+d(-C/e)+C=0から
e^2+de+C=0、e^2-de+C=0であって、e^2+C=0からe^2=-Cが有理数となって
従ってde=0、d≠0からe=0が得られ、何れにしろeやe^2は共に有理数となって矛盾が生じる。
3)eが重根でなくかつC>0のとき。基本的には2)のときと対称性を用いた同じ考え方でよい。
1)、2)、3)の何れの場合も矛盾が生じる。
昨日はしくじって場合分けしなかったが、これでよろしい？