>>18を高校流の設問にしてみた。

n≧0に対して、f_n：R → R を以下のように定義する。
f_0(x)＝e^x−1,
f_n(x)＝∫[0〜x]f_{n−1}(t)dt　(n≧1)

(1) |x|≦1のとき|f_0(x)|≦(e＋1)|x| が成り立つことを示せ。

(2) n≧0, |x|≦1 のとき |f_n(x)|≦(e＋1)|x^{n+1}|/(n＋1)!
が成り立つことをnに関する数学的帰納法で示せ。

(3) f_n(x)＝e^x−Σ[k＝0〜n](x^k) / k！ (n≧0, x∈R)
が成り立つことをnに関する数学的帰納法で示せ。

(4) eは有理数係数の2次方程式の解にならないことを示せ。