背理法を用いて、2次関数y=x^2+C、Cは定数、が平面R^2上の点(0、C)を通ること、
2次関数y=-x^2-CがR^2上の点(0、-C)を通ること、
及び2つの1次関数y=ax、y=-ax、a≠0は定数、が共に座標平面上でx、y両軸に対称であることと、
2次関数y=x^2+C、y=-x^2-Cが共に座標平面上でy軸に対称であること
を用いれば、話は少し理屈っぽくなるが、高校の内容?だけで幾何学的に証明出来る。
ae^2+be+c=0を満たすa、b、c∈Z-{0}が存在することを仮定したとき、
両辺をe^2+(c/a)=-(b/a)eと変形してC=c/a、d=b/aとおけば、
e^2+C=(-d)eとなって、あとは-(-e)^2-C=d(-e)、つまりe^2+C=deであることが
グラフに関する対称性による幾何学的議論から導かれてe=0となって矛盾が生じる。