河合塾の東大模試　第５問>>283-284

n を0以上の整数とする. 数列 S[n], T[n] を
　S[n] = ∫[0,1] (1 - x)^n e^x dx, T[n] = (-1)^(n+1) ∫[0,1] (1 - x)^n e^(-x) dx
によって定める. ただし, e は自然対数の底であり, (1 - x)^0 = 1 とする.
また, 整数の定数 a, c (ただし a≠0 とする)に対して,
　R[n] = a S[n] + c T[n]
とおく.

(1) A[n] = n! e - S[n], B[n] = n! e^(-1) - T[n] とおくと, A[n], B[n] はともに整数であることを示せ.
(2) a, c のみで定まる正の整数 N が存在して, n≧N を満たすすべての n に対して | R[n] | < 1 が成り立つことを示せ.
(3) R[n], R[n+1], R[n+2] のうち, 少なくとも1つは0でないことを示せ.
(4)自然対数の底 e は, 整数 a, b, c (ただし a≠0) を係数とする2次方程式 a x^2 + b x + c = 0 の解にならないことを示せ.

解答はすべて写すのさすがに面倒なので概略だけ
(1)部分積分で漸化式を求めて, 数学的帰納法を使う.
(2) 0 < S[n] < e/(n+1), 0 < T[n] < 1/(n+1) より.
(3)2通りの証明を与える. [証明1] (R[n] の漸化式を利用するもの), [証明2] (T[n] の符号変化に着目するもの)
(4)以上の結果をすべて使って矛盾を導く.