>>458
積分の形で剰余項を表すバージョンのテーラー展開の式
f(x)=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+
¥int_{a}^{x}¥frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)¥,dtf(x)=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+
¥int_{a}^{x}¥frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)¥,dt
は，部分積分の繰り返しで示せるから高校範囲と言えば言える。(高校生には難しいが)
この式で，f(x)=e^x, f(x)=e^{-x} と置いて，a=0, x=1 とすれば，
e=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{1}{k!}+¥int_{0}^{1} (1-t)^n e^t dt
1/e=¥sum_{k=0}^{n} ¥frac{(-1)^k}{k!}+¥int_{0}^{1} (1-t)^n e^{-t} dt
となる。この2つの積分は，模試の問題文にある積分と同じだと思う。