一意性：g(x)＝Σ[k＝0〜∞](x^k)/k! と置くと、既に述べたように
g ' (x)＝g(x), g(0)＝1である。また、任意の x,y∈R に対して
g(x＋y)＝g(x)g(y) が成り立つことが言える(泥臭い愚直な計算で)。
さて、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる f を任意に取る。このとき
(g(−x)f(x)) ' ＝−g ' (−x)f(x)＋g(−x)f ' (x)
＝−g(−x)f(x)＋g(−x)f ' (x)＝g(−x)(−f ' (x)＋f(x))
＝0 ―― (i)

となる。さて、x≠0を任意に取る。平均値の定理と上記の(i)より
g(−x)f(x)−g(0)f(0)＝0 となるので、g(−x)f(x)＝g(0)f(0)＝1
となる。これがx≠0なる限り言える。この等式はx＝0のときも
明らかに成り立つ。よって、任意のxでg(−x)f(x)＝1 となる。
両辺にg(x)をかけて、g(x)g(−x)＝g(x−x)＝g(0)＝1に注意して
f(x)＝g(x)となる。よって題意の f は一意的である。

全体としては、「導関数」「級数の収束」の議論だけで十分であり、
積分が必要ない。