>>533
或る3つの整数m、n、lが存在して3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交したとする。
ここに、e、e^2は共に無理数だから、m、n、lは何れも0ではないと仮定しても一般性を失わない。
すると、xy平面、yz平面、xz平面の中の任意の2平面は空間内で直交するから、
ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)をxy平面に射影して考えると、3垂線の定理により、
xy平面における2つの幾何ベクトル(e^2,e)、(m,n)は直交する。
よって、(e^2,e)、(m,n)の内積を考えると、e＞0から、me+n＝0が得られ、e＝n/mは有理数。
しかし、これはeが無理数であることに反し、矛盾する。
従って、如何なる整数m、n、lに対しても、3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交し得ない。

e、e^2が無理数であることは使っていいと>>1に書いてあるから用いた。