はいは〜い、誤答のおっちゃんが厳密ではないですけど、面白い解答しま〜す。

[第１段]：x を実数の独立変数、yを実数の従属変数とする。定義から、指数関数 y＝e^x の値域は
区間 (0,+∞) である。また、y＝e^x は単調増加で一価の関数である。定義から、対数関数 y＝log(x)、x＞0
についても同様なことがいえるから、y＝e^x の逆関数 は y＝log(x)、x＞0 である。平面 R^2 上で、
直線 y＝x のグラフ G_0＝{(x,y)|y＝x,x∈R}について、指数関数 y＝f(x) のグラフ
G_1＝{(x,y)|y＝e^x, x∈R} と 対数関数 y＝g(x) x＞0 のグラフ G_2＝{(x,y)∈R^2|y＝log(x)、x＞0}
とは対称である。また、R^2 において、直線 y＝-x+1 は平面 R^2 上の3点
P_1＝(0,1), P_2＝(1,0), P_3＝(1/2,1/2) を通る。R^2 上の3点 P_1、P_2、P_3 について
P_1∈G_1、P_2∈G_2、P_3∈G_0 だから、R^2上 で直線 y＝-x+1 を原点 を中心にして、
時計回りに π/4 の角だけ回転させると、直線 y＝-x+1 は y＝0 に一致する。R^2の2点
P_4＝(e,e^e)、P_5＝(e^e,e) について、P_4∈G_1 と P_5∈G_2 とは
直線 y＝x について対称である。a＝(1/2)(e＋e^e) とおくと、R^2上の点
P_6＝(a,a) について P_6∈G_0。また、R^2 において、直線 y＝-x+a は3点
P_4、P_5、P_6 を通る。従って、R^2上 で直線 y＝-x+a を原点 を中心にして、
時計回りに π/4 の角だけ回転させると、直線 y＝-x+a は y＝0 に一致する。
b＝-e+e^e,c＝-e^e+e とおく。R^2上 で原点 を中心に、時計回りに π/4 の
角だけ P_4、P_5 を、それぞれ回転させた点は、(1/√2)(2a,b)、(1/√2)(2a,c)
であって、b＝-c。従って、任意の実数 t＞1/2 に対して、e^t∈Q[√2,t] なる
ことと log(t)∈Q[√2,t] なることとは同値である。