p進体とか標数pの体とかが全然身近に思えない

身近に思える人は凄い

数論を少し勉強した学生が「絶対ガロア群は数論的に重要な情報を含むから大事なんだぜ〜」とか「○○と○○のアナロジーすげぇｗ」とかドヤ顔で言っているのをたまに見かけるが、
「それって具体的にどんな情報を含むの？」「そのアナロジーを考える理由はなに？」と質問するとマトモな返事が返ってこない。
聞きかじったことを受け売りで言っているだけで重要性を全く理解していないというのがほとんど。

アホなんだから仕方ない

>>110
古典的にはテータ級数はルジャンドル辺りが考えた、
与えられた自然数を平方数の和で表す問題があって
それに対するモジュラー形式としてテータ級数を
考える。モジュラー形式ではよくある話だが、
一見すると一致するか判らない二つのモジュラー形式を
比較する為に、モジュラー形式が作るベクトル空間を
トレース公式やRiemann-Roch
などを用いて計算する方法がある。志村先生の本に
そういう計算方法がのっている。トレース公式は
Poissonの和公式から発展した。

>>110
絶対ガロア群そのものを考えるのは難しいので、
ガロア群の各素点に対して局所化したものを
考える。Qの絶対ガロワ群は可換からは程遠いが、
局所化(局所体)したガロア群は必ず可解群となる。
そこでmod pした有限体のガロア群と分岐群からなる
完全列を考えると、大抵のガロワ表現では分岐群が
自明に作用している事が知られている。
そこではフロベニウス元に対するトレースがモジュラー形式
のq展開や楕円曲線の有理点の個数とも関係して、
不思議な関係を与えている。Qの絶対ガロワ群を
生成する原子のようなものがフロベニウス元だと
考えればよい。でもQのガロワ群は判らないことばかり。
複素共役以外の位数有限な元も余り見つかっていない。

>>110
本当はZ上でホッジ理論を考えたいのだが、それは
今の段階では難しい。Z上で駄目ならZ_p上でやるのが
現在の数論幾何の方向だと思う。誰もまだ最終形を知らず、
専門家であるKedlayaさんもそういう方向で模索している。
彼は現在普及している周期環の定義の改良を試みている。
B_dRなどが一見して判り難いのは深い所に
理由があるかもしれない。確かに「p進周期とは？」
という問いかけも明確な答えは無く、2πiの類似がp進複素数"t"
であるという類似の話をしても判った様で判らないと思う。
自分はこういう話を10年以上も考えているが、未だに
良く判らないしまだまだ理解が浅いと思う。
勉強して違和感を感じたときに、完成した理論を
鵜呑みにするのではなくKedlayaさんのように
自分なりの理解の仕方を発見するのがベストだと思う
(実行は難しいかもしれないが)。
それとZ上とC上の大きな違いはZ上で考えることは
integralな構造(Z-加群ないしは格子)を考える事に相当する。
これもCとB_dRの違いを考える上でヒントになるかも。
良く理解できないという事は、実は自分流の数学を
発見する上で大切な事だと思う。

>>110
最初からB_dRなどを考える前に、
最も簡単な例である1次元のガロア表現を
考えると良い。この場合にはQ上のガロア群に対して
p進円分指標と呼ばれるものが構成できるので、
それのフロベニウス元の計算から始めれば良い。
それが終わればGL_2の話に移行する。Q上の楕円曲線には
Qのガロワ群が作用しているので、そこから自然に
ガロワ表現ができる。フロベニウス元の特性多項式、
その次に・・・という風に具体例から始めると色々計算できて面白い。

>>113-116
ご丁寧なお返事、ありがとうございます！
とても勉強になりました！

>>116
ちょうど現在 類体論を勉強しているところなので
まずは1次元のガロア表現を考えてみようと思います。
いつか B_dR のことなどを理解してみたいです。
本当にありがとうございました。

>>110
最後にEisenstein級数だが、具体的に書くと
複素平面の格子上の関数という表示を持つ。
簡単な計算で定数項にゼータ関数が登場する。
Eisenstein級数から出てくる不思議な恒等式が
山のようにあるのだが、こういった話を扱う為には
ある種の代数の問題に翻訳する為にヘッケ作用素が必要になる。
MordellがRamanujan予想の一部を解決する為に考えたのが始まり。
Eisenstein級数は具体的な表示が可能と言う利点が大きい。

>>117
どうしても判らなければ身近に
訊ける人が居れば良いけれど、一番良いのは
自分の頭でウンウン唸って計算して考えること。
本も沢山あるけれど、結局これしか方法がないと思う。
自分も未だに判らない事だらけで、判らないから
我流で研究を続けているというのが本音。
寝とぼけているので今宵の講義はこれにて終了！

良スレだな。古き良き時代の数学板を思い出す。

>>119
とても貴重なアドバイスをありがとうございます。

一年に一度の勉強になるスレ

良スレだな。全くわからんが

>>86
@_Capila
ウデールの定義 （1976年12月7日の加藤和也先生の講演
「有限体上の一変数函数体を剰余体とする類体論」の記録より）
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiliCcAAmaq4.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiF8CMAAopFV.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiQ4CMAAj9Z2.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOih_CUAA4GRZ.jpg
10:06 - 2014年12月26日
https://twitter.com/_Capila/status/548540349593825282

低レベルでわるい。
BdRのBは何でBなの？

>>125
Fontaineに聞け

標数pの体は身近に思える

・・・ただしp進体、テメーはダメだ

これは良スレ。
ラノベみたいなスレタイだな。