p進体とか標数pの体とかが全然身近に思えない

身近に思える人は凄い

>>61
C⊃R⊃Q⊂Qp⊂BdR

BdRどこにあるの？

BdRとCpはどう違うの？

BcrisはC⊃R⊃Q⊂Qp⊂BdRのどこに入るんですか？

そもそもdRって何のこと
deRhamと関係あるの？

>>66
BdR って「ビードラーム」って読むらしいから関係あるんだろうね

なんで C⊃R⊃Q⊂Qp⊂Cp じゃいけないの？

Bcris や Bst の商体は BdR よりも大きいですか？

BdRは体なの？

>>70
構成ときに最後に商体を取ってるから体。

へー

おいおい、いつからお前ら BdR とかいっちょまえに言うようになったんだ

BdRってかなり巨大なイメージ
何に使うの？

p進表現に必須らしい

絶対ガロア群と BdR、どっちの方がよりでかい？

QのアデールみたいにB_dRやCを全部まとめたような巨大概念はないの？

>>77
CとC_p全部をまとめたもの。

名前はないの？

>>79
ない。なぜなら俺が作ったものだから。

よかった、かわいそうな巨大概念は居なかったんだね

名前を付けようよ。Cdeleとか。

>>82
いいな！！それ！
おっしゃ、ここに宣言しよう。

Q_pの代数閉包の完備化 C_p と複素数体 C の
制限積 C×ΠC_p （ただし、pは素数全体を動く）を
Cdele（クデール） と名付ける。

概念考案者は俺、命名者は >>82 な。

>>65
BcrisやBstは、Bcris⊂Bst⊂BdRとなる、BdRの部分環

>>83
名前はそれでいいとして、どう使うかだよなあ。
Cdeleは環だけど商体をとっても
⊃B_dRとかにはならないんだろうか。

↓このツイートを思い出した。

Iwao KIMURA　@iwaokimura
加藤先生が曲面の類体論を構成したときに，ウデールという用語を
使おうとして伊原先生にたしなめられた，という噂を聞いたことが
ありますが，真偽はいかに．
15:17 - 2011年6月22日

加藤文元　@FumiharuKato
@iwaokimura 加藤先生本人から聞いた話し（もう10年以上前ですが）
では、K_2イデールを考えたときに「ウデール」と呼んだそうです。
伊原先生云々の話しは聞かなかったように記憶してます。
12:29 - 2014年3月30日

なるほど。EdeleやOdeleも定義してみたい。

アデールもイデールももうあるからウデールなのか…

>>83
なんというCダラケ……

>>84
B_chk（ビーチク）とかないの？

ツデールはツンデレな女の子。
ナデールは色黒で可愛い女の子。
モデールはスタイルの良い女の子。

レス乞食かい？

ほらまた　戦争かい？
ほらまた　戦争かい？

B_christmas

p進表現が何をしたいもんなんか全くわからん
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/nakamura4.pdf

どんなものかはともかく、何をしたいかってのは
アルキメディアンの代わりにp進体を使ってみよう以上の目的ってあるの？

グロタンディークが夢みた神秘関手の理論を完成させるため
っていうのがp進表現を導入する目的の一つ

神秘函手とは…？

>>97
"Grothendieck mysterious functor" でググろう

B_crismas

ぼっちクリスマスですか

>>94
B_crisはクリスタリン・コホモロジ―に
自然に出てくるので、それでdivided power
を使うという構成になっている。
B_stはそれよりもデカイ周期環だが、
B_crisにTate曲線から生ずるガロワ表現を
パラメーターとして加えれば、新しい周期環
が得られるだろうという期待によって生まれた。
安直にC_pでテンソルしてもガロア作用
が貧弱すぎて(Tate-Senの定理)ホッジ理論の類似が
作れない。p進では不分岐表現は狭すぎるのが理由。
それでこういう複雑な構成が必要になった。
Fontaineが10年近く没頭して得られた
成果だから、単純でないのは仕方がないかも。

p進の主目的は、ガロア作用、
ホッジ・フィルトレーション、
フロベニウス作用、モノドロミー作用などの
付加構造が備わったベクトル空間を見つける事。
構造がそれだけ豊かであれば、色々な
情報が引き出せる。p進ホッジ理論を
知りたいのであればアーベル多様体の
場合をまず勉強すればいいと思う。

>>101-102
ありがとうございます。
そういう付加構造が備わったベクトル空間を見つけることでなにか嬉しいことがあるのでしょうか？
また、アーベル多様体の場合を勉強するにあたってお勧めの教科書などがあれば教えて欲しいです。

>>1
中学２年の連立一次方程式みたいに
みかん、りんご、合わせて何個、合計金額何円、
みかん、りんご、それぞれ何個買ったか、という身近な例で説明しろという事か

>>103
例えば、Ramanujan予想を考えればよいと思う。
モジュラー形式に付随するガロワ表現を見ると、
２次行列のトレースや行列式に重要な情報
が含まれている。モジュラー形式のような
非線形なものをガロア表現を通して線形代数化
することで、それなりに見通しが良くなる
（と言っても十分複雑かもしれんけど）。
モジュラー形式を考える理由はテータ級数、
Eisenstein級数とか数論的に重要な情報を含んでいる。
それと代数多様体のエタール・コホモロジーから
大量にガロア表現を作ることが可能になったので
p進の理論が必要になったというのが歴史的な背景。
アーベル多様体の場合だったら、Mumfordでも良いし、
Milneのノートがホームページに転がってたはず。
あとはTateのp-divisible group。
周期環の原典(B_HTというやつ)である
Tateの古典理論からやったほうが近道かも。

数学板にしては珍しく有意義なスレ

>>103
複素多様体のHodge理論だと、
H_dRはH_singにQ上Cをテンソルすると同型になる。
これがde-Rhamの定理。これの類似をp進体上の多様体で考えたい。
p進複素数と呼ばれるC_pとテンソルすれば良いのでは？
という単純な考えが浮かぶ。
しかし上でも述べたように、C_pのTateひねりC_p(i)の
ガロア作用が豊富でないので、B_HT、B_dR、B_cris、B_stが必要。
そうは言ってもC_pは出発点として非常に重要な周期環。
エタール・コホモロジーから作られるガロワ作用を何としても
理解したい。そこでコホモロジーとC_pとをテンソルすると
Tateひねりの直和という非常に単純なガロワ表現に分解される。
これはFaltingsによって証明されているけど、得られる情報は
まだ不足している。p進は複雑に見えるけど後は慣れるしかない。

今宵は専門家が降臨してp進表現を教えてくれる素敵な聖夜ですな。

ふむふむ…

>>105
テータ級数やEisenstein級数とかが含む数論的に重要な
情報って例えば具体的にどのようなものなのでしょうか？

>>107
よくCとBdRが対比されているのを見聞きするのですが
複素のp進版の類似を考えるモチベーションは何なのでしょうか？
いまいちその重要性がわかりません・・・。

数論を少し勉強した学生が「絶対ガロア群は数論的に重要な情報を含むから大事なんだぜ〜」とか「○○と○○のアナロジーすげぇｗ」とかドヤ顔で言っているのをたまに見かけるが、
「それって具体的にどんな情報を含むの？」「そのアナロジーを考える理由はなに？」と質問するとマトモな返事が返ってこない。
聞きかじったことを受け売りで言っているだけで重要性を全く理解していないというのがほとんど。

アホなんだから仕方ない

>>110
古典的にはテータ級数はルジャンドル辺りが考えた、
与えられた自然数を平方数の和で表す問題があって
それに対するモジュラー形式としてテータ級数を
考える。モジュラー形式ではよくある話だが、
一見すると一致するか判らない二つのモジュラー形式を
比較する為に、モジュラー形式が作るベクトル空間を
トレース公式やRiemann-Roch
などを用いて計算する方法がある。志村先生の本に
そういう計算方法がのっている。トレース公式は
Poissonの和公式から発展した。

>>110
絶対ガロア群そのものを考えるのは難しいので、
ガロア群の各素点に対して局所化したものを
考える。Qの絶対ガロワ群は可換からは程遠いが、
局所化(局所体)したガロア群は必ず可解群となる。
そこでmod pした有限体のガロア群と分岐群からなる
完全列を考えると、大抵のガロワ表現では分岐群が
自明に作用している事が知られている。
そこではフロベニウス元に対するトレースがモジュラー形式
のq展開や楕円曲線の有理点の個数とも関係して、
不思議な関係を与えている。Qの絶対ガロワ群を
生成する原子のようなものがフロベニウス元だと
考えればよい。でもQのガロワ群は判らないことばかり。
複素共役以外の位数有限な元も余り見つかっていない。

>>110
本当はZ上でホッジ理論を考えたいのだが、それは
今の段階では難しい。Z上で駄目ならZ_p上でやるのが
現在の数論幾何の方向だと思う。誰もまだ最終形を知らず、
専門家であるKedlayaさんもそういう方向で模索している。
彼は現在普及している周期環の定義の改良を試みている。
B_dRなどが一見して判り難いのは深い所に
理由があるかもしれない。確かに「p進周期とは？」
という問いかけも明確な答えは無く、2πiの類似がp進複素数"t"
であるという類似の話をしても判った様で判らないと思う。
自分はこういう話を10年以上も考えているが、未だに
良く判らないしまだまだ理解が浅いと思う。
勉強して違和感を感じたときに、完成した理論を
鵜呑みにするのではなくKedlayaさんのように
自分なりの理解の仕方を発見するのがベストだと思う
(実行は難しいかもしれないが)。
それとZ上とC上の大きな違いはZ上で考えることは
integralな構造(Z-加群ないしは格子)を考える事に相当する。
これもCとB_dRの違いを考える上でヒントになるかも。
良く理解できないという事は、実は自分流の数学を
発見する上で大切な事だと思う。

>>110
最初からB_dRなどを考える前に、
最も簡単な例である1次元のガロア表現を
考えると良い。この場合にはQ上のガロア群に対して
p進円分指標と呼ばれるものが構成できるので、
それのフロベニウス元の計算から始めれば良い。
それが終わればGL_2の話に移行する。Q上の楕円曲線には
Qのガロワ群が作用しているので、そこから自然に
ガロワ表現ができる。フロベニウス元の特性多項式、
その次に・・・という風に具体例から始めると色々計算できて面白い。

>>113-116
ご丁寧なお返事、ありがとうございます！
とても勉強になりました！

>>116
ちょうど現在 類体論を勉強しているところなので
まずは1次元のガロア表現を考えてみようと思います。
いつか B_dR のことなどを理解してみたいです。
本当にありがとうございました。

>>110
最後にEisenstein級数だが、具体的に書くと
複素平面の格子上の関数という表示を持つ。
簡単な計算で定数項にゼータ関数が登場する。
Eisenstein級数から出てくる不思議な恒等式が
山のようにあるのだが、こういった話を扱う為には
ある種の代数の問題に翻訳する為にヘッケ作用素が必要になる。
MordellがRamanujan予想の一部を解決する為に考えたのが始まり。
Eisenstein級数は具体的な表示が可能と言う利点が大きい。

>>117
どうしても判らなければ身近に
訊ける人が居れば良いけれど、一番良いのは
自分の頭でウンウン唸って計算して考えること。
本も沢山あるけれど、結局これしか方法がないと思う。
自分も未だに判らない事だらけで、判らないから
我流で研究を続けているというのが本音。
寝とぼけているので今宵の講義はこれにて終了！

良スレだな。古き良き時代の数学板を思い出す。

>>119
とても貴重なアドバイスをありがとうございます。

一年に一度の勉強になるスレ

良スレだな。全くわからんが

>>86
@_Capila
ウデールの定義 （1976年12月7日の加藤和也先生の講演
「有限体上の一変数函数体を剰余体とする類体論」の記録より）
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiliCcAAmaq4.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiF8CMAAopFV.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOiQ4CMAAj9Z2.jpg
https://pbs.twimg.com/media/B5zOih_CUAA4GRZ.jpg
10:06 - 2014年12月26日
https://twitter.com/_Capila/status/548540349593825282

低レベルでわるい。
BdRのBは何でBなの？

>>125
Fontaineに聞け

標数pの体は身近に思える

・・・ただしp進体、テメーはダメだ

これは良スレ。
ラノベみたいなスレタイだな。