>p⇒qを書こうとすると具体的にどうなるのでしょうか？

p = どんな整数xについてもｆ（ｘ）＝ax^(2)＋bx＋cの値が偶数である
q = （a:偶数かつb:偶数かつc:偶数）または（a:奇数かつb:奇数かつc:偶数）
となるだろうね。pは問題文から来るし、qはそれを求めるのがこの問題なのだが。

>また、ここのチャートの指針の

ベン図で考えたいなら（ベン図はあまり奨めないが）、
まず、p⇒q　のベン図は、ｐの丸の中にqの丸があるようになるね？
ということは、qはpの一部、つまりpの特殊化、逆に、pはqの拡大つまりqの一般化ということになる。
だから、「特殊な例から必要を」「一般を予想して十分を」なんだろう。