>>121
f,gがC^1、つまりf'(x)とg'(x)が連続と仮定する
このとき1番目の式と2番目の式は同値となることを示す
(証明)
f(g(x))-g(f(x))=f(g(x))-f(f(x))+f(f(x))-g(g(x))+g(g(x))-g(f(x))
平均値の定理より
f(g(x))-f(f(x))=f'(c)(g(x)-f(x)) (cはg(x)とf(x)の間)
g(g(x))-g(f(x))=g'(d)(g(x)-f(x)) (dはg(x)とf(x)の間)
よって{f(g(x))-g(f(x))}/(f(x)-g(x))=-f'(c)-g'(d)+{f(f(x)-g(g(x))}/{(f(x)-g(x)}
x→0とするとf(x),g(x)→0よりc,d→0なのでf'(c),g'(d)→となる
よってx=0付近では{f(g(x))-g(f(x))}/(f(x)-g(x))≒-2+{f(f(x)-g(g(x))}/((f(x)-g(x))
よってf,gがC^1のときは1番目の式と2番目の式は同値となる

次にf,gがx=0で二階微分可能でf''(0)≠g''(0)のとき1番目の式が成立することを示す
f(x)=x+Cx^2+o(x^2)
g(x)=x+Dx^2+o(x^2) (C≠D)とかける
f(g(x))=g(x)+C*g(x)^2+o(x^2)=g(x)+Cx^2+o(x^2)
g(f(x))=f(x)+D*f(x)^2+o(x^2)=f(x)+Dx^2+o(x^2)
f(g(x))-g(f(x))=g(x)-f(x)+(C-D)x^2+o(x^2)
f(g(x))-g(f(x))/(f(x)-g(x))=-1+{(C-D)x^2+o(x^2)}/{(C-D)x^2+o(x^2)}→0　(x→0)