＞x が列ベクトルか行ベクトルかは、どうやって判る？
＞ベクトルというだけでは、その行列表現が列になるか
＞行になるかは決まらない。

xを列ベクトル、yを行ベクトルとし、x,y∈V ならば、Vは線型空間の公理を満たさないから、
列ベクトルか行ベクトルかは、V の属性と考えるべき。（別に考えなくてもよいが、線型代
数にならなくなるだけ。）
当たり前だが、列ベクトルか行ベクトルかは基底とは全く無関係。

C^n を列ベクトル空間、(C^n)' を行ベクトル空間とすれば、それらは同型であるから、どち
らを選ぶかによって生じる理論上の差異はほとんど無い。
例えば、普通は列ベクトル空間として扱うから、f を f(x)=Ax で定義するが、行ベクトル空
間なら、f(x)=xA で定義すればよいだけ。

＞Cn の元 x を列ベクトルなり行ベクトルなりの行列に対応づけるためには、その対応を記述する基底が必須。
＞x が標準基底の上で列ベクトル X に対応していれば、行列積 AX は定義される。

C^n の元は（１行（場合によっては１列）の）行列ではないということか？その理由は？

＞f(x) をワザワザ Ax と書き替えたことに意味が無くなるし、
＞f と A の対応が x を X と成分表示するための
＞基底に依存していることには何の変わりもない。
＞標準基底を使ったからといって、
＞基底を使わなかったことにはならないのだ。

意味不明。式 f(x)=Ax は、f(x)の書き替えではなく、fの定義である。

君の文章には説得力が無い。何故なら言ってることの裏付け・理由が抜け落ちているからだ。