多角形重心の求めかたを使って云々を掘り下げてみたら

単位円上に頂点を持つ正n角形の頂点を(p1,p2,p3,...,pn-1)とする
正多角形の重心の求め方と三角形の重心の求め方より、原点を中心に各頂点へと線を引き、分けられた三角形の重心を求め、
さらにその点で出来た多角形に同じ作業をk回繰り返した時に出来た多角形の全頂点の和は
2^k/3^k(p1+p2+p3+···+pn-1)
この時kを∞に飛ばすと頂点は原点に収束するためlim[k→∞](2^k/3^k(p1+p2+p3+···+pn-1))=0
従って(p1+p2+p3+···+pn-1)=0
となったのですがこの証明はどうでしょうか?