>>484
どうも。スレ主です。

>正規部分群が重要だ、重要だとどんな本にも書いてある。
>しかしなぜ、どこが重要なのか。

まあ、例えば、こういうこと

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
数学、とくに抽象代数学における正規部分群（せいきぶぶんぐん、英: normal subgroup）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。正規部分群は、与えられた群から剰余群を構成するのに用いることができる。

正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。


G 上定義された群準同型で N をその核に持つものが存在する。

最後の条件は正規部分群の重要性の一端を示すもので、ある群の上で定義される準同型写像全体の内部的に分類する方法を与えている。
たとえば、
単位群でない有限群が単純となるための必要十分条件はその群がその上の恒等的でない準同型像の全体に同型となることであり、
有限群が完全群となるための必要十分条件はそれが素数指数の正規部分群を持たないことであり、
また群が不完全群となるための必要十分条件は、その導来部分群がいかなる真の正規部分群をも補群として持たないことである。
（引用おわり）