>>486 補足
ふと思ったが、正規部分群の重要性で、素人わかりする説明としては、下記の群の組成列と「一意性： ジョルダン・ヘルダーの定理」かな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（そせいれつ、英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手法を与えるものである。

一意性： ジョルダン・ヘルダーの定理
群は1つよりも多くの組成列をもつかもしれない。
しかしながら、ジョルダン・ヘルダーの定理（カミーユ・ジョルダンとオットー・ヘルダーにちなんで名づけられた）は、与えられた群の任意の2つの組成列は同値であると主張する。
つまり、順序の違いと同型の違いを除いて、同じ長さと同じ組成因子をもつ。
（引用おわり）

まあ、要するに、全ての有限群は、組成列を持ち、正規部分群により、順序の違いと同型の違いを除いて、決まる。
だから、正規部分群を知ることが、問題の有限群を理解する上で決定的に重要だと

まあ、例の素人さんにはすぐ理解できるとは思わないが、じっくり考えて下さい