ガロアが言っているのは結局こういうことだろう。
素数ｐ次の冪根を投入すれば群がｐ個のグループに分かれる。
具体的には正規部分群とその剰余類のグループだ。
これを繰り返すことができるなら方程式は解けるが、
こういう分割ができないなら方程式は解けない、と。

で、五次方程式の場合は交代群の次の正規部分群は単位群とその剰余類の
60のグループしかないから解けない、と。

で、なぜ解けないかというと、ある群（正規部分群）内で置換しても
不変になる量が作れないから、結局Ｘ＾ｐ＝Ａという方程式が作れず、
投入すべき冪根が作れないからではないのか？
正規部分群が単位群だけだと、そのような不変量が作れないからだ、と。