2つの封筒問題について Part.2 [無断転載禁止]©2ch.net

２つの封筒問題

２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま１万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。
※前スレ
ツイッターの封筒問題について
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448985731/

>>150
情報が何も与えられてないというのは誤解だと思う。
与えられた情報はすべて考慮するのがベイズ確率だから。

交換してもしなくてもおなじ

未開封バージョンであればその通り。

>>154
何が同じなのかが問題だね。

期待値が同じ…は、間違い。
もうひとつの封筒の期待値は、計算不能だ。

ある種の人達にとって満足感が同じ…なら、
誰にも否定しようがない。
損得とは別の話になるけど。

>もうひとつの封筒の期待値は、計算不能だ。

もちろん開封バージョンの話だろうが、誤り。
期待値は計算可能。これまでの書き込みを見ればわかる。

ここまでの議論から、何も学んで来なかったのだね。
期待値が計算できると言うのなら、やってみせてごらん。
計算を書けば、どこが間違っているのか教えてあげるから。

一体何を読んできたのやら。
期待値が計算できないなんて子供じゃあるまいし。
それとも子供か。なら仕方がない。

やれやれ、期待値の定義を知っているのかね？
分布が定義されていなくては、期待値は計算しようがない。
何をどう計算して、それが期待値だと思ったの？

期待値が計算できると言うのなら、やってみせてごらん。
計算を書けば、どこが間違っているのか教えてあげるから。

二つの封筒問題でググると結構なサイトが間違った解説してる

ルール自体より
交換によって
見た金額が倍になる確率が1/2
見た金額が半分になる確率が1/2
という自明の確率分布が与えられている。
これを認めないのは頭のどこかの配線が切れてるとしか言いようがない。

交換した方が良い派と
してもしなくても同じ派
ずっと平行線

>>162
ほらね、間違っている。
説明しよう。
以下、条件Aの成立下に事象Bが成立する確率をProb(B｜A)と書く。

用意された封筒を{X円,2X円}、開けた封筒をY円と置くと、
「ルール自体より」言えるのは
∀a,Prob(Y=a｜X=a)=Prob(Y=2a｜X=a)=1/2
でしかない。式を変形して、
∀a,Prob(Y=a∧X=a)=Prob(Y=2a∧X=a)=(1/2)Prob(X=a)
とも書けるが、
Y=10000に関してここから言えるのは
Prob(Y=10000∧X=10000)=Prob(Y=20000∧X=10000)=(1/2)Prob(X=10000)…[1a]
と
Prob(Y=5000∧X=5000)=Prob(Y=10000∧X=5000)=(1/2)Prob(X=5000)…[1b]
だけであって、
「交換によって見た金額が倍になる確率が1/2
見た金額が半分になる確率が1/2」を意味する
Prob(X=1000｜Y=10000)=Prob(X=5000｜Y=10000)=1/2…[2]
は出てこない。[2]を変形すると
Prob(X=10000∧Y=10000)=Prob(X=5000∧Y=10000)=(1/2)Prob(Y=10000)
だが、[1a][1b]から導かれる正解は
Prob(Y=10000∧X=10000):Prob(Y=10000∧X=5000)=Prob(X=10000):Prob(X=5000)
であり、
Prob(Y=10000∧X=10000)=Prob(Y=10000∧X=5000)
となるのは
Prob(X=10000)=Prob(X=5000)…[3]
である場合だけだ。
「ルール自体」を見ると、[3]は仮定されていない。

>>163
なぜ平行線なのかを考えると、
何が正解なのかが見えてくるよ。
そのふたつの他に、条件不足で決定不能派
もいることを思い出しておこう。

>>164
まるっきりイミフ

>>166
それが、1/2 教徒の
いつもの
そして唯一の反撃だ。

数学を知らざるものは去れと
ピタゴラスの門には彫ってあった。

>「交換によって見た金額が倍になる確率が1/2
>見た金額が半分になる確率が1/2」を意味する
>Prob(X=1000｜Y=10000)=Prob(X=5000｜Y=10000)=1/2…[2]
>は出てこない

ってイミフ

>>168
「交換によって見た金額が倍になる確率」は、
開けた封筒が10000円だという条件下に
用意された封筒が{10000円,20000円}だった確率。
「(交換によって)見た金額が半分になる確率」は、
開けた封筒が10000円だという条件下に
用意された封筒が{5000円,10000円}だった確率
のことだから、Probで式に書けば[2]のようになる。
何が解らんの？

[2]を見た？

あ、これか。
Prob(X=10000｜Y=10000)
目敏い奴だな。
目に頼るから、エスパーが開花しないんだよ。

Prob(X=20000｜Y=10000)=Prob(X=5000｜Y=10000)=1/2…[2]

>>172
Xの定義をよく読むんだぞ

開封バージョンと未開封バージョンを混同してる　ｗｗ

何が正しいのか分からんくなってきた

期待値ってのは
何回も試行を繰りかえして初めて意味のある数な

>期待値ってのは
>何回も試行を繰りかえして初めて意味のある数な

頻度確率しか認めないってか　ｗｗ

数学の問題としては、決定的な情報がないため、問題として確定していない。
しかし、その欠如している情報が、ある種の思い込み、乃至、信教によって、
勝手に解釈され、齟齬の原因になっている。いわば宗教戦争。

やはり、無宗教がいいね。

頻度確率しか認めない。ベイズ確率は認めない。
これも宗教だな　ｗｗ

文章が読めない奴がいるな。

頻度確率しか「認めない」のではなくて、
頻度的に考えないと「意味が無い」と言ってるんだろ。

別にベイズ主義でも何でもいいよ。頻度的な視点がない1回限りの
ベイズ確率には「意味が無い」だけの話であってｗｗ(>>152)。

>>180
＞頻度的な視点がない1回限りの

それは、独立反復事象が何者だか解ってないだけ。
独立反復というのは、「1回限りの」事象を
独立に繰り返す場合を考えたらどうなるか？という
思考実験の話であり、むしろ「1回限り」だからこそ
「独立に」反復することが考えられる。
本当に繰り返し試行してしまったら、
独立試行であることを担保するのが大変になる。

頻度論者が独立反復事象を理解してないのはマズイね。
頻度確率というのは、中心極限定理があって初めて
確率として意味を持つ概念だから。

>>181
うん、だからね、「思考実験内で仮想的に反復してみる」という行動すら許さない
真の意味の「1回限り」の話をしてるわけ。何が言いたいんだこいつｗ

＞思考実験の話であり、むしろ「1回限り」だからこそ
＞「独立に」反復することが考えられる。

結局、何らかの意味での "反復作業" を想定しなければ、
期待値というものは意味がないわけ。特に頻度確率においては。
で、このスレのベイズ主義くんは、反復作業が登場した時点で
無条件に頻度確率と見なしてしまうわけ(>>177)。

となれば、このスレのベイズ主義くんが考えるところの「ベイズ確率」とは、
「思考実験内で仮想的に反復してみる」という行動すら許さない、
真の意味の「1回限り」という立場のもとでの確率なわけ
(過去スレにも、このような立場を匂わせる記述がある)。

そういう立場での確率って何の意味があるの？・・・という話を
>>180でしているのに、お前はワケの分からないレスを書いているわけ。

ここで、ベイズ確率と頻度確率が全く異なる値となる例を一つ示す。
ここに1枚のインチキコインがあるとする。
すなわち、表か裏のどちらかが出やすくなっている。
ただし、どちらが出やすいのかはわからない。
では、このコインを投げたとして表が出る確率をどう計算すべきか?

ベイズ確率
表が出る確率は、1⁄2である。
理由：表と裏のどちらが出やすいのか全く不明である。
それ故、表の出る確率も裏の出る確率も全く平等である。
それ故、理由不十分の原理により、ともに1⁄2とする以外にない。

頻度確率
表が出る確率は、0から1までのいずれかであるが、1⁄2ではない。
理由：コインを何度も投げると、［表の出た回数 / 投げた回数］は、ある値に近づく（大数の法則）。
それが求める確率である。
ただし、このコインはインチキコインなのだから1⁄2には絶対にならない。

要するに、ベイズ確率は、その時点で有する情報をもとにした一回限りの確率である。
これに対して頻度確率は、無限回試行を前提とした確率である。

２封筒問題も同様に考えればよい。

>>22とか>>164で終わってる話になぜベイズ主義だの頻度主義だのが出てくるのか謎

全然終わってないからじゃん　ｗｗｗ

君が理解できてないだけじゃね？

理解？
終わったと思ってる奴の頭の中は生ごみが詰まってるんだろう。キミのこと。

具体的な反論してみ？
どーせできんだろーけど

でたらめな落書きに反論する価値があると思ってるのか？

はいはい、できないんすね

馬鹿は相手にできない

・封筒を選んだが未開封のとき
「この中身がn円と置くと、もう一方は2n円かn/2円である」

・封筒を開けて1万円を見たとき
「この封筒の中身は1万円だったから、もう一方は2万円か5千円である」

開封後は金額が具体的に決まった以外、開封前となにも違わないようだ。

いいや、開けた封筒の金額には、意味がある。
２つの封筒の中身{X,2X}の事前分布を
一様分布と仮定することが不可能な以上、
Xの分布には、何らかの特徴的な値が存在する。
その値と10000との大小関係によって、
選ぶべき封筒は違ってくる。
例えば、Xが有限範囲の一様分布である場合、
その最大値が10000か10000未満かによって
最初の封筒を取るべきか交換すべきかが変わる。

１万円を見た以上、確率空間は
Ａ：＜1万円、5千円＞、Ｂ：＜1万円、２万円＞
がすべて。
Ａ、Ｂには全く優劣がない。
開封版のゲームはここから始まる。

>>194
＞Ａ、Ｂには全く優劣がない。

それは、出発点ではなく、最終的な結論だろ。
それを冒頭に仮定すれば、何も考える必要がなくなる。
何も考えたくない人がそうするので、
「そう仮定していいの？」というツッコミには
何かを考えた返事は返ってこない。
理由不十分の原理？へー

問題は優劣について何も言ってない。
優劣があるというなら証拠を出せ。

再び>>22,164に戻る

馬鹿に戻ってどうする

>>196
問題が優劣について何も言ってないということは、
優劣については判らないということだ。
変な思い込みをせずに書かれてあることを
そのまま読めば、そうなる。
優劣が無いというなら証拠を出せ。
勝手に優劣が無いと仮定して、その結果
優劣が無いという結論になるのは、
自明だが問題とは関係のない話だ。

二つの箱がある。
一方の箱に賞品が入っている。他方の箱は空である。
どちらに賞品が入ってるかわからない。
任意に箱を選んだとき賞品が入っている確率は？

>問題が優劣について何も言ってないということは、
>優劣については判らないということだ。
>変な思い込みをせずに書かれてあることを
>そのまま読めば、そうなる。
>優劣が無いというなら証拠を出せ。

馬鹿もここまで来ると国宝級だ。

二つの箱がある。
一方の箱に賞品が入っている。他方の箱はたいして価値が無いものが入っている
どちらに賞品が入ってるかわからない。
任意に箱を選んだとき賞品が入っている確率は？←これは50%か？

片方を開けたら水の入った500mlペットボトルが入っていた
もう片方に賞品が入っている確率は？←これは50%か？

>>200
馬鹿丸出し。
それは、「理由不十分の原理」ではない。その例では、
優劣の根拠が無いから等確率と結論できるのではなく、
優劣が無いと思う積極的根拠があるから
等確率と仮定するのだ。その根拠が行間の
雰囲気として伝えられ、文章に明記されてないだけだ。

学校の教科書に書かれているサイコロやコインも同じ。
初等教育で変な癖をつけさせるから、基本的なことを
一生理解できない人間が出る。

宝箱で言えば、箱に大小があれば、いじわる婆さんは
大きいほうが宝箱だと思うだろう。そうでないから、
宝箱である確率は1/2づつだと予想する。
どちらが宝箱である可能性も同じっぽく見えるという
判断があってのことで、その判断には何か理由がある。

> 二つの箱がある。
> 一方の箱に賞品が入っている。他方の箱は空である。
> どちらに賞品が入ってるかわからない。
> 任意に箱を選んだとき賞品が入っている確率は？
>
> >問題が優劣について何も言ってないということは、
> >優劣については判らないということだ。
> >変な思い込みをせずに書かれてあることを
> >そのまま読めば、そうなる。
> >優劣が無いというなら証拠を出せ。
>
> 馬鹿もここまで来ると国宝級だ。

>>202

>それは、「理由不十分の原理」ではない。その例では、
>優劣の根拠が無いから等確率と結論できるのではなく、
>優劣が無いと思う積極的根拠があるから
>等確率と仮定するのだ。

ケース１：二つの箱の例では等確率と仮定してよい。
　どちらの箱を選んでも当たる確率は1/2

ケース２：2封筒問題では等確率と仮定できない。
Ａ：＜1万円、5千円＞、Ｂ：＜1万円、２万円＞
　Ａ、Ｂいずれの確率も1/2ではない・・・わからない

ケース１には積極的根拠があり、ケース２には積極的根拠がない
とする根拠を述べよ。

>>203
ゲーム理論的に考えて
前者は胴元側にとって最適戦略（最も損しない戦略）だが
後者は最適戦略ではない

まだやってたのか

>>204
根拠になってない。

すみません。ほとんどログを読まずに回答してます。全然間違ってたらすみません。
エクセルでモンテカルロシミュレーションやってみたところ、
randbetweenで１から10万まで任意の数が出るaとその2xaで試行回数100万4万8千576回やってみたところ、aも2xaも出る数は同じ、常に０か１。
そのシミュレーションを何十回セットとやってみましたが結局は結果は一緒でした。
つまり10000という数はどっちの封筒にも同じ確率で入ってると思われます。

すみません、「aも2xaも出る数は同じ、常に０か１。」というのは
「aも2xaも10000という数字が出た回数は同じ、aとax2とも常に０回か１回。」
という意味です。

たびたびすみません、常に０か１ではなくたまには２以上のときもありますが、
aと2xaで表れる頻度は同じでした。
エクセルの関数なのでrand関数のseedの問題はあるかもしれないので、確率は全く同じとはいいきれませんが、
ほぼ一緒といってもいいのではないのでしょうか。

ケース１：二つの箱の例では等確率と仮定してよい。
　どちらの箱を選んでも当たる確率は1/2

ケース２：2封筒問題でも等確率と仮定してよい。
Ａ：＜1万円、5千円＞、Ｂ：＜1万円、２万円＞
　Ａ、Ｂいずれの確率も1/2

ケース１とケース２を区別する理由はない。

胴元側の選択が異なる

変えても変えなくてもおなじ

>>211
異なる？　意味不明
>>212
ど阿呆

1万円をゲットした歓喜は、
5千円を落として失った落胆の2倍なのか？

>>207
その「１から10万まで任意の」の部分を
「１から6000まで任意の」に置き換えて
もう一度やってみると、
シミュレーションの状況設定に
結果ありきの作り込みがあったことが
明らかになる。
要反省

ケース１：二つの箱の例では等確率
　どちらの箱を選んでも当たる確率は1/2

ケース２：2封筒問題でも等確率
Ａ：＜1万円、5千円＞、Ｂ：＜1万円、２万円＞
　Ａ、Ｂいずれの確率も1/2

ケース１とケース２を区別する理由はない
当たり前の話

ケースＡ
オーナーは5000円を入れた封筒と10000円を入れた封筒を用意し、プレイヤーにどちらかの封筒を選ぶように言った。
10000円を入れた封筒を取ったときに、「交換してもいいよ。ただし二つの封筒には１：２の比で（以下略）」

ケースＢ
オーナーは20000円を入れた封筒と10000円を入れた封筒を用意し、プレイヤーにどちらかの封筒を選ぶように言った。
10000円を入れた封筒を取ったときに、「交換してもいいよ。ただし二つの封筒には１：２の比で（以下略）」

ケースＣ
オーナーは正確なコインを振り、表がでたときには20000円を入れた封筒と10000円を入れた封筒を、
裏がでたときには5000円を入れた封筒と10000円を入れた封筒を用意し、（以下略）

ケースＤ
オーナーは正確かどうか分からないコインを振り、表がでたときには20000円を入れた封筒と10000円を入れた封筒を、
裏がでたときには5000円を入れた封筒と10000円を入れた封筒を用意し、（以下略）

プレイヤーの立場から考えると、ケースＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのいずれなのか不明。
ＡやＢのように（いわばポーカーのような）心理的勝負を仕掛けられたのか
ＣやＤのように確率事象として扱っていいのかも不明。
（つづく）

「選んだ封筒を交換するとすると、5000円か、20000円をゲットすることになる。ということは、最初の封筒選びで、
右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶかは、オーナーが5000円と10000円を用意していたか、
20000円と10000円を用意していたかに直結しているはず。」等と考えるのは、典型的な誤り。

「右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶか」はケースＡの場合は、5000円か10000円か、ケースＢの場合は、20000円か10000円かに、
そして、ケースＣおよびＤの場合は、コインが表の場合は20000円か10000円か、裏がでた場合には5000円か10000円かに直結している。
どのケースも、「右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶか」が「オーナーが5000円と10000円を用意していたか、
20000円と10000円を用意していたか」になど直結していない。

「右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶか」は1/2の確率事象で、
オーナーが高額ペアを用意した（＝ケースＡまたは、ケースＣ、Ｄで表がでる）か、少額ペアを用意したかとは全く別のもの。
ケースＣやＤのように、コインなどを使って確率事象にすることもできるが、
懐事情で最初から少額ペアしか用意しないこともあるし、
「チャレンジ精神のすすめ」的教訓を体験させるため、高額ペアを用意しているかもしれない。

高額ペアにすることは、オーナーの意思で、頻度０にも、１にも、そして確率1/2の確率事象にもできるものだが、
プレイヤーの選択肢は、どうやっても確率1/2の二者選択事象しかない。

>>217 >>218
そもそも何を言いたい？

２封筒問題ではないが君たちの理解を問う。

２つの封筒に、相異なる２つの自然数を書いた紙が各々入っている。
今 一つの封筒を開いたら、ａという数字が書いてある紙が入っていた。

＜問題＞
もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字はａより大きいか小さいか？

＜参考解答案＞
もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字はａより大きい。
「理由」
もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字がゼロからａまで（ａを含まず）である確率Ａと
もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字がａ（ａを含まず）より大きい確率Ｂ
では当然後者が大きい。
具体的には、確率Ａはゼロであり、確率Ｂは１である。
よって、もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字はａより当然大きい。

だめだめ。
「当然後者が大きい」に根拠がなにも無い。
確率は、基礎確率分布を仮定して初めて
計算が可能になるもの。
仮定を明示せずに何かを結論するのは、
詐欺または馬鹿でしかない。

>>221

君の理解度を試してやろう。

問：直角三角形と二等辺三角形、どちらが種類が多いか？
（大きさは問わない、すなわち相似なら同じとする。）

「多い」を定義してから言えって
とこから一歩も進んどらんな。

221では確率Ａがゼロ、確率Ｂが１というのを否定できないような希ガス
前提は明確だし

>>224

正解。と言ってあげても意味分からんだろうなｗ

>もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字がゼロからａまで（ａを含まず）である確率Ａと
>もう一つの封筒に入っている紙に書いてある数字がａ（ａを含まず）より大きい確率Ｂ
>では当然後者が大きい。
>具体的には、確率Ａはゼロであり、確率Ｂは１である。

当たり前だよね
自然数の存在密度は均一なんだし

>>227
その分布関数を具体的に書いてごらんよ。

何の意味がある？

>>229

＞当たり前だよね
＞自然数の存在密度は均一なんだし

がホントかウソかはっきりする。
できるもんならやってみなという話

自然数の存在密度が均一でないって　ｗｗ

>>230に反論したいなら、
自然数の存在密度が均一になる分布関数を
具体的に挙げてごらん。
できるもんならやってみなって話だと
既に書いているだろう？
「ｗ」で済むなら、世界が２ちゃんねるだけで
まかなえてしまうよ。ｗ

相異なる２つの自然数をどうやって選ぶのか
その選び方(従う確率分布)によって
確率Ａ、確率Ｂの値は変わり得る
選び方によっては当然０、１とは限らない

自然数自体の存在密度とやらは確率とは関係ない

221の問題を書き直した。


２つの封筒に、任意に選ばれた相異なる２つの正の実数を書いた紙が各々入っている。
今 一つの封筒を開いたら、ａという実数が書いてある紙が入っていた。

＜問題＞
もう一つの封筒に入っている紙に書いてある実数はａより大きいか小さいか？
下の枝から選べ

１．ａより大きい
２．ａより小さい
３．わからない

>>234
「任意に選ばれた」の「任意」がどんな任意なのかを
書かないと問題が決まらないって、何度言えば解るのか？

任意の正の実数という以外に一体どんな任意を期待しているのか？

>>236
どのように「選ばれた」のか書かなきゃ問題にならん
てことだけど、わからないの？へー

問題：任意の実数ｘ、yに対してx^2-4xy+4y^2>0」の否定の真偽を調べよ。
237：どのような「任意」なのか不明なので解答不可。

それが切り返しになるのだとしたら、
>>234は２封筒問題と何の関係もないことになる。
そういう話なのか？

>>238
> 問題：任意の実数ｘ、yに対してx^2-4xy+4y^2>0」の否定の真偽を調べよ。
> 237：どのような「任意」なのか不明なので解答不可。

まー、だから分かってないってことなんだけどね。いいかい、任意での分布が問題になるのが確率なわけ。
君の出した問題ではx,yに関する分布は問題ではない。全てのx,yで確かめろということだからね。
一方、やりやすさのためにサイコロにするが、出る数は1〜6の6種類だ。通常はどの目も1/6で出るとする。
素材的に均一で形状がほぼ正6面体ならそうなる。だからゲームで使えるわけだね。

しかし、イカサマサイコロってあるよね。1が異様に出やすいとかさ。そのサイコロとて1〜6の6種類だ。
だからといって、どの目も同じ確率で出るとはいえまい。出ないように作ったのがイカサマサイコロなんだからね。
サイコロが出せる種類の数と確率は無関係なんだよ。で、普通のサイコロは均等に出るよう作ってある。

いいかい、「任意に選ばれたn」というのは「あるn」ということなんだよ。「全てのn」ではない。
で、確率を論じるなら「その選び方はどうやったの？」ということになる。
サイコロの例の通り、操作次第で変わるからね。ったく、こんな当たり前の話をしなきゃならんとは。

なお、俺は>>237ではないよ。あまりに見かねたんで口出ししたまでだ。>>237の論は必ずしも擁護しない。

数値１と２の間で任意に実数αを定める。
αが１と１．５の間に存在する確率と、
１．５と２の間に存在する確率はともに１／２で等しいと考えるであろう。

そうであれば、
β＝１／αとおくと
βが０．５と０．６６６６６・・・の間に存在する確率と
βが０．６６６６６・・・と１の間に存在する確率は
ともに１／２で等しいはずである。・・・以上を結論Ａ

一方、βは、０．５と１の間に存在する任意の実数なのであるから
βが０．５と０．７５の間に存在する確率と
βが０．７５と１の間に存在する確率は
ともに１／２で等しいはずである。・・・以上を結論Ｂ

しかし、結論Ａと結論Ｂは矛盾する。
すなわち、αが１と１．５の間に存在する確率と、
１．５と２の間に存在する確率はともに１／２で等しい
と考えたことは単なる仮定に過ぎない。

確率とはそういうものである。

>>241
>>241
> αが１と１．５の間に存在する確率と、
> １．５と２の間に存在する確率はともに１／２で等しいと考える

理由は、αを１と２の間の一様分布と見ているからだろうが、
そうであれば、β＝１／αとおいたβは
０．５と１の間に分布するが、一様ではない。

> βが０．５と０．６６６６６・・・の間に存在する確率と
> βが０．６６６６６・・・と１の間に存在する確率は
> ともに１／２で等しい

が正しいことになる。一方、

> βが０．５と０．７５の間に存在する確率と
> βが０．７５と１の間に存在する確率は
> ともに１／２で等しい

という考えは、βが０．５と１の間に一様分布すると仮定している。
仮定が違えば、結論も異なる。矛盾は無い。
確率とはそういうものである。
「任意の」の選び方を確認しろと何度も書いているとおりだ。

二封筒問題は難しいよ。
プロの数学者でも間違うんだから。

チューリングと超パズル: 解ける問題と解けない問題（東京大学出版会 (2013/11/30)）

難易度
二封筒問題＞＞二人の息子問題＞モンティホール問題

そお？
二人の息子問題＞モンティホール問題＞二封筒問題
じゃない？
いづれにしろ、条件付き確率が直感に馴染むかどうか
だけの話だから、難易度にそう大きな差は無いけど。

違うな。
プロの数学者の間でもまだ解決していないのは二封筒問題だけ。
モンティホール問題はもう誰も間違わない。

二封筒問題で間違う「プロの数学者」って、
統計学者じゃない？普通の人は、間違わない。
二人の息子問題は、火曜日生まれの娘の問題として
最近も話題になってたような。

>統計学者じゃない？普通の人は、間違わない。

間違ってない普通の人はいない。
勘違いしてる阿呆はいくらでもいるが。

>二人の息子問題は、火曜日生まれの娘の問題として

娘じゃなくて息子だろ。
いずれにしても、もう誰も難問とは思わない。

二つの封筒問題に戻れば、単純に期待値だけで判断できるというのは強引なのだ。
期待値だけで言うなら、宝くじを買うのは例外なく大ばか者だということになろう。
期待値は数学的に意味を持つが、それ以上の意味は持たない。

例えばこういう状況を考えてみる。

あなたはニートで、親にカネを無心しました。
親は片方の金額がもう片方の金額の2倍の二つの封筒を見せ、どちらかを選ばせました。
とりあえず一方を選ぶと1万円が入っていました。
さあ交換を求めますか、それとも1万円を手に入れますか？
俺なら迷わず1万円を手に入れる。交換して減額だったらとても悔しい。

あなたはﾔｸｻﾞ者で、カノジョにカネを無心しました。
カノジョは（ｃｒ）
とりあえず一方を選ぶと1万円が入っていました。
さあ交換を求めますか、それとも1万円を手に入れますか？
俺なら迷わず交換を求める。交換して減額だったとしてもさほど悔しくない。

なお、ニートかヤクザかはこの際関係ない。（どっちも穀潰しに違いない）
誰がその1万なら1万という金額をくれるのか、という点が重要である。

効用に関する期待の曲線を示してくれないとなんとも言えない。

金は数値だけど、平等な数値じゃないんだよね。
1万円は100円が100個分の価値と同等ではないと言うこと。
あくまで自分で使う自分のお金、と言う意味ではね。

そうだね。
1万円では、100円の物は100個は買えないものな。

これ、モンティホール問題だけど、出題者が完璧に勘違いをしていると思われ。
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http://www.arp-nt.co.jp/rensai/index-sono53.html