>>21
封筒の金額は自然数値をとるものとする。(自然数が嫌なら有理数でもよい)
Xを開いた封筒の金額、もう片方の金額をY、Zを選んだ封筒の組とする。
封筒の組の事前分布をpとする。つまり∀z∈N,p(z)=P(Z={z,2z})と納z∈N]p(z)=1が成立する。
求めるものはE(Y|X=10000)である
E(Y|X=10000)=Σ[y∈{5000,20000}]y*P(Y=y|X=10000)　(∵期待値の定義)
さてy∈{5000,20000}に対して
P(Y=y|X=10000)=P(Y=y,X=10000)/P(X=10000) (∵条件付き確率の定義)
分子について
P(Y=y,X=10000)=P(X=10000,Z={y,10000})=p(min{y,10000})/2
分母について
P(X=10000)=納z∈{5000,10000}]P(X=10000|Z={z,2z})p(z) (∵ベイズの定理)
=納z∈{5000,10000}](1/2)*p(z)
=(p(5000)+p(10000))/2
よってy∈{5000,20000}に対して
P(Y=y|X=10000)=p(min{y,10000})/(p(5000)+p(10000))
したがって
E(Y|X=10000)=(5000*p(5000)+20000*p(10000))/(p(5000)+p(10000))