>>375
> lim[n→∞] nはN の元ではない．

そうですよ。もしかして極限値の話をしていると思っているのですか？違いますよ。

> ∵任意のk∈Nに対してn>kとなるnが存在するのでlim[n→∞]n >k
> 任意の自然数より大きいのでlim[n→∞]nはNの元ではない．

繰り返しますけど、極限値ではありません。極限値でも∞のケースですよね。∞は数ではありません。
だから無限大って扱うのが難しいんですよ。極限値ではない、だったら何でしょう、みたいな話ですから。

> 俺の立場はこれだ．ひとまず君の考えるlim[n→∞]nが何なのか教えてくれ

極限値ではありません。まずそこについて頭を切り替えてください。
実無限と可算無限の話までしたではないですか。あれを何だと思っているのですか？

> >無限大の自然数
> こんなものはない．あるというか，君が考える無限大の自然数がどう定義されてるのかちゃんと書いてくれ

定義は実質的に書けないんですよ。ざっくり説明するにも、少なくとも実無限と可算無限くらいはちゃんと理解してもらわないと。
実無限と可算無限の説明はしません。知らない人にいちから説明するの、到底無理ですから。
その二つが、分かったら、どう分かったか書いてみてください。その内容によっては、望みが出るかもしれません。
基礎なしに応用部分は無理でしょう？それくらいはお分かりになると思います。これ以上は対応できません。