平方数を小さい方から並べて差をとっていくと、3、5、7、9と奇数の列になっている(証明略)
これを利用すると、異なる平方数の差は、連続する奇数の和として表せる

ここで、連続するa個の奇数の中央値をbとすると、このa個の奇数の和はabと表せて、aとbの偶奇は一致する(証明略)
(このことからも4で割ると2余る数は連続する奇数の和で表せないことがわかり、素数は１パターンのみであることもわかる)

奇数、もしくは4の倍数をab(aとbの偶奇は同じ)の形に因数分解すれば、aとbの片方を連続する奇数の個数、他方を中央値として連続する奇数の和で表せる(ただし連続する奇数のうちの小さいものが負数になる場合は除く)

これを用いれば4で割ると2余る数以外の任意の自然数を平方数の差で、全ての表し方で表せる