方程式　a ・ x　= bの解とは、(a ・ x　–b)^2 を最小にするxの値であると言い換えられる。（ここで、２乗する意味は結構深く、差の２乗を考えるのは　２つの量の遠さ、近さを比較するのに便利である事による　―　これに関して、ピタゴラスの定理を思い出すのは良い。）

そこで、(a ・ x　–b)^2　に近い式として、小さな正の数sをとって、　式　 s x^2 + （a ・ x　− b）^2 を考える。（s が10^{-400} 位に小さくとれば、加えた項は、無視できるほどではないだろうか？　実際、現代では　それくらい小さな数を計算機内でも扱える。実際、京都大学の藤原宏志氏は、それよりはるかに小さな数を計算機内で扱っている。）この時、これは２次関数であるから、放物線の谷の頂点、すなわち、x= ab/(s + a^2) で最小値をとることが分る。s=0　のとき、(a ・ x　–b)^2　を最小にする x が分数　b/aであるから、(a ・ x　–b)^2　に近い　式s x^2 + （a ・ x　− b）^2を最小にするx= ab/(s+ a^2)　は　定義したい一般化した分数と言えるだろう。ところが、今の場合、a=0の場合にも　最小にする x は　唯一つに　x = 0　と定まっている。s x^2　の項のために何時でも最小にするx　が唯一つに定まる。

ここが微妙なところであるが、x= ab/(s+ a^2)　で　sに依存する一般化分数を定義し、sをゼロに近づけた極限値で、（sには依らない）一般化分数を定義するのが自然であると考えられよう。この意味で、定義された分数を従来のように、b/a　で表せば、a　がゼロでない場合、定義は、従来と同じであるが、a=0の場合にも定義されて、b/0=0 であるという結果になる。形式不変の原理、すなわち、拡張を考えるときは、従来の結果はそのまま成り立つように拡張して行かなければならない。