面白い問題おしえて〜な 二十二問目©2ch.net

>>257
O (0,0)
X (x.cosα, x.sinα)
Y (y.cosβ, y.sinβ)
Z (z.cosγ, z.sinγ)
とおく。
△XYZが一辺Ｌの正三角形をなすから、
　XY = YZ = ZX = L,
より
L^4 - (x^2+y^2+z^2)･L^2 + {x^4 + y^4 + z^4 -(xy)^2 -(xz)^2 -(yz)^2} = 0,

{L^2 - (x^2+y^2+z^2)/2}^2 = (3/4){2(xy)^2 +2(xz)^2 +2(yz)^2 -x^4 -y^4 -z^4}
　= (3/4)(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z),

∴ L^2 が正根をもつ条件は、
　(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) > 0,
すなわち、x,y,z が△の３辺をなすこと。