x=1,2のとき、(x,p)=(1,2),(1,3),(2,5),(2,7)となり素数pが存在する。

nを以下を満たす整数とすると
x^2<n<x(x+1)
x>2のとき、nはxで割り切れない。
2<=q<xとなる素数q、m>1の整数mによって、n=mqと表されるとすると
x^2<mq<x^2+x…①

a,bを0<=b<mを満たす整数として、x=am+bと表されるとすると

a^2*m^2+2abm+b^2<mq<a^2*m^2+2abm+b^2+am+b
a^2*m+2ab+b^2/m<q<a^2*m+2ab+b(b+1)/m+a
この式が成立するためには、整数rを
r=q-(a^2*m+2ab)…②
として
b^2/m<r<b(b+1)/m+a…③
を満たす整数rが存在することが必要である。

x<mのとき、a=0で、x=b
2m<=mq<mx x^2<mq<x^2+x
上式が同時に成り立つためには
m<x/m(x+1)<x+1
x<mであるから、これを満たすmは存在しない。

(続く)