a>0のとき、kを0<=k<=m-1を満たす整数とし、b=m-kとすると
(m-k)^2/m<r<(m-k)(m-k+1)/m+a

m=(x-b)/aであるからmの値の範囲はx^2<m<=x-b=am…④
だからrは
m-2k+k^2/m<r<m-2k+k^2/m+1-k/m+a
x^2-2k+k^2/x^2<r<x-b-2k+k^2/(am)+1-k/(am)+a

上式を満たすrの個数の最大値をR(x,m)とすると
R(x,m)=x-b-2k+k^2/(am)+1-k/(am)+a-(x^2-2k+k^2/x^2)+1
=x-b+k(k-1)/(am)+a-(x^2/2+k^2/x^2)+2

x^2+1<=n<=x^2+x-1…⑤
の範囲には整数がx個存在するから、素数の数をN(x,m)とすると
N(x,m)=x-R(x,m)-(b^2-b-2)/2
=b-k(k-1)/(am)-a+x^2/2+k^2/x^2-2-(b^2-b-2)/2
=-k^2(1/am-1/x^2)+k/(am)+x^2/2-a+b-2-(b^2-b-2)/2

N(x,m)が最小となるのは、N(x,m)がkの2次式でその2次の項の係数が負であり
頂点がk=1/(2(1-am/x^2))<1/2であるからk=m-1、b=1のときに最小となる。
③から、1/m<r<2/m+a
m=2のとき、1<r<1+aとなり、rはa-1個存在する
m>2のとき、1<r<=1+aとなり、rはa個存在する


mは④の範囲をとるので
x^2+1<=m<=x-1、mの取り得る個数は、-x^2+x-1となり
この範囲でのrの取り得る個数の最大値は、a(-x^2+x-1)
よって、⑤の範囲でpの取り得る値の個数の最小値P(x)は
P(x)=x-a(-x^2+x-1)=x(a(x-1)+1)+a>0

したがって、x^2+1<=n<=x^2+x-1の範囲に、少なくとも1個以上の素数が存在する。