横レスだが、決定番号が有限値に定まることを証明しておく。
完全代表系の定義からきちんと出発する。


完全代表系の構成の仕方：
R^N に以下のようにして同値関係〜を定義する。
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^N に対して、

s〜s' ⇔ ∃n_0≧1, ∀n≧n_0 [ s_n＝s'_n ].

この〜が実際に同値関係になっていることの証明は省略する。
s∈R^N に対して、sの同値類を C(s) と書くことにする。すなわち、

C(s)＝{ t∈R^N｜s〜t }

と定義する。C(s)⊂R^N である。次に、

M＝{ A⊂R^N｜∃s∈R^N [ A＝C(s) ] } ( ＝ R^N/〜 )

と置く。次が成り立つことに注意する。

(1) ∀A,B∈M [ A≠B ⇒ A∩B＝φ ].
(2) ∪[A∈M] A ＝ R^N.
(3) ∀A∈M [ A≠φ ].

I_A＝A (A∈M) と置けば、A∈M を添え字とする集合族 (I_A｜A∈M) が得られる。
(3)から、I_A≠φ (A∈M) である。よって、選択公理が使えて、
写像 f：M → ∪[A∈M] I_A (＝R^N) であって

∀A∈M [ f(A) ∈ I_A (＝A) ]

を満たすものが存在する。このような f を1つ取って固定する。
集合 { f(A)｜A∈M } は、「 R^N の、〜に関する完全代表系」と呼ばれる。
次が成り立つことに注意する。

(4) ∀A∈M [ C(f(A))＝A ].