>>427
タテレスだが、決定番号が有限値に留まらないことを証明しておく。
背理法による

１．決定番号が有限値に留まると仮定する。すると、決定番号に最大値が存在する。それをdmとする
２．dmに対応する同類に属する数列s"が存在する。s"= (s1，s2，s3 ，x x x，sdm，sdm+1・・・)としよう
３．ここで、sdm≠s'dmなる s'dmを取ることができて、数列s'''= (s1，s2，s3 ，x x x，s'dm，sdm+1・・・)を構成することができる
４．数列 s'''= (s1，s2，s3 ，x x x，s'dm，sdm+1・・・)の決定番号は、明らかにdm+1。当然、dm＜dm+1だ
５．これは、dmが最大値であることに反する
（蛇足でいうまでもないが、・・・は数列のシッポが一致していることを意味する）
QED

補足
上記数列s'''= (s1，s2，s3 ，x x x，s'dm，sdm+1・・・)からの決定番号dm+1の構成法からも明らかなように（これはペアノ算法そのもの）
また、無限長数列のシッポで同値類をとるという構成法からも、明らかなように、同値類の頭の最大値は有限ではありえない
（当たり前だが、当たり前が分からない人がいるので強調しておく）